9~12月

【数学】元塾講師の僕が一番気に入っている問題

こんにちは、りおです。

今回は今まで見てきた問題で僕が一番気に入っている問題を1問だけ紹介します。

※著作権等の関係でフリーハンドで問題を書いています。字が汚くてすみません。

解いているとこれはすごい!!ってなって以来お気に入りです。


 

駿台模試の問題

何年度の何月の駿台模試の問題か忘れましたが大体4年位前の駿台だったような気がします。

それを考え方が変わらず計算が楽になるように改題したものです。

そして、みんなが苦手な図形。

あなたも挑戦してみてから解説を見てください。

早速解説していきます!!

よくわかる解説

問題に15度という大ヒントがあることから外側を利用、\(\angle ACB =30^{\circ}\)ということから線分ACを延長して頂点Bから垂線を下ろして交わったところを点Dとすると写真のような直角三角形BDCが作れます。

外角の利用から\(\angle DAC =\angle DBA =45^{\circ}\)で\(\triangle{ABD}\)は直角二等辺三角形ということが分かります。

求めたいのは線分ABですが、\(\triangle{ABD}\)は1:1:\(\sqrt{2}\)であることから\(AB=x,AD=\frac{x}{\sqrt{2}} \)と置くのではなく、\(AD=x,AB=\sqrt{2}x\)として、最後に\(AD×\sqrt{2}\)した方が簡単に計算ができますので

\(AD=BD=x\)と置いて計算をスタートしましょう。

\(\triangle{BDC}\)について考えると有名角の三角形なので

\(BD:DC=1:\sqrt{3}\)

\(x:(x+2)=1:\sqrt{3}\)

\(\sqrt{3}x=x+2\)

\(\sqrt{3}x-x=2\)

\((\sqrt{3}-1)x=2\)

\(x=\frac{2}{\sqrt{3}-1}\)

\(x=\frac{2}{\sqrt{3}-1}×\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}\)    (有理化)

\(x=\sqrt{3}+1\)

\(x=AD\)なので

\(AB=\sqrt{2}×(\sqrt{3}+1)\)

\(AB=\sqrt{6}+\sqrt{2}\)

という答えになります。

なんでこの問題がお気に入りなのか

この問題を気に入っているからには理由があります。

まず、計算が難しくないこと。簡単になるように数字を少し変えたので、当たり前の計算だけで解けるようになっています。

しかし計算が簡単ということは発想重視ということです。そんなに深くない知識を総動員して解きます。

1.むやみやたらに求めたいものを\(x\)と置かないこと

2.有名角の外角をしっかり利用すること

3.計算式の5行目のように\(x\)でくくって\(x=\)の形にできること

4.有理化の確認

5.最後にABの値に戻せるかどうか

言われたらできるけどこの状況でしっかりと自分で思いつくことができるのか、特に3番の変形が苦手な中学生がとても多いです。

また、図形に勝手に苦手意識を持っている生徒も多いので「なんだ解説聞けばわかるぞ!!」という感情も持ってほしいなと思っています。

そういう過程の確認も含めてこの問題は僕の一番のお気に入りです。

まとめ

完全に自己満足の記事になってしまいましたね(笑)

知り合いに高校受験が控えている人がいたら是非この問題を解かせてみてください。

りお塾では随時、質問や相談等小中学生の学習状況を始め勉強以外のことも受け付けています。

1,000人以上の生徒の学習指導や特支を含めて1万人以上の子供たちと関わった経験が力になると思います。

無料でツイッター問い合わせから僕と直接お話しすることができます。

お気軽にどうぞ。

ABOUT ME
りお
りお
自由人/元塾講師 日本全国旅(移住)します。トゥレット症候群。組織というものが大嫌い。 過去1,000人以上の学習指導含め1万人以上の子供と触れ合った経験をもとに教育方面に長けている。 個人的な悩みも問い合わせから受け付けています。

COMMENT

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です